พีทาโกรัส ม.2 คณิตศาสตร์โดยครูพี่แบงค์
ประวัติของพีทาโกรัส
พีทาโกรัสเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เกิดที่เกาะซามอส (Samos)แห่งทะเลเอเจียน
(Aegean)ใกล้กับเอเชียไมเนอร์ ท่านเป็นผมีประสบการณ์และได้รับความรู้จาการเดินทางไปอียิปต์และบาบิโลเนีย ในขณะที่ศึกษาในประเทศอียิปต์ พีทาโกรัสพบว่าชาวอียิปต์ใช้เชือกที่มี 13 ปม ล้อมรอบไม้ 3 อัน ซึ่งปักอยู่บนพื้นที่นาเพื่อเป็นเส้นกั้นระหว่างที่นา รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการใช้เชือกล้อมรอบไม้ 3 อัน นั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
(Aegean)ใกล้กับเอเชียไมเนอร์ ท่านเป็นผมีประสบการณ์และได้รับความรู้จาการเดินทางไปอียิปต์และบาบิโลเนีย ในขณะที่ศึกษาในประเทศอียิปต์ พีทาโกรัสพบว่าชาวอียิปต์ใช้เชือกที่มี 13 ปม ล้อมรอบไม้ 3 อัน ซึ่งปักอยู่บนพื้นที่นาเพื่อเป็นเส้นกั้นระหว่างที่นา รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการใช้เชือกล้อมรอบไม้ 3 อัน นั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
หลังจากพีทาโกรัสกลับจากประเทศอียิปต์ก็พบว่า เกาะซามอสตกอยู่ภายใต้การยึดครอง
ของเปอร์เซียจึงอพยพไปอยู่ที่เมืองโครโตนา(Crotona) เมืองท่าของชาวกรีกซึ่งอยู่ตอนใต้ของประเทศอิตาลีในปัจจุบัน ที่นี่พีทาโกรัสได้ก่อตั้งสำนักพีทาโกเรียน(Pythagorean School) สำนักนี้มีชื่อเสียงเกี่ยวกับการศึกษา ปรัชญาคณิตศาสตร์ และธรรมชาติวิทยาหรือวิทยาศาสตร์สมัยใหม่
ของเปอร์เซียจึงอพยพไปอยู่ที่เมืองโครโตนา(Crotona) เมืองท่าของชาวกรีกซึ่งอยู่ตอนใต้ของประเทศอิตาลีในปัจจุบัน ที่นี่พีทาโกรัสได้ก่อตั้งสำนักพีทาโกเรียน(Pythagorean School) สำนักนี้มีชื่อเสียงเกี่ยวกับการศึกษา ปรัชญาคณิตศาสตร์ และธรรมชาติวิทยาหรือวิทยาศาสตร์สมัยใหม่
ปรัชญาของสำนักพีทาโกเรียนมีว่า จำนวนครอบครองจักรวาล (Numbers rule the universe)
พีทาโกรัสคิดว่า ปริมาณต่างๆในธรรมชาาติสามารถเขียนรูปของจำนวนนับ จนมีคำขวัญของสำนักว่า ทุกสิ่ง คือ จำนวนนับ
พีทาโกรัสคิดว่า ปริมาณต่างๆในธรรมชาาติสามารถเขียนรูปของจำนวนนับ จนมีคำขวัญของสำนักว่า ทุกสิ่ง คือ จำนวนนับ
สัญลักษณ์ที่สำนักพีทาโกเรียนใช้คือ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมด 10 จุด ดังนี้
แต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม
ประกอบด้วย 4จุด และมีจุดรวมกันทั้งหมด 1+2+3+4=10 จุด
แต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม
ประกอบด้วย 4จุด และมีจุดรวมกันทั้งหมด 1+2+3+4=10 จุด
สำนักพีทาโกเรียนมีความเชื่อแตกต่างจากผู้อื่น เช่น การปฏิเสธที่จะกินถั่ว ดื่มไวน์
เก็บของที่ตกหรือการใช้เหล็กเขี่ยไฟสัญลักษณ์ที่สมาชิกของสำนักพีทาโกเรียนใช้เพื่อสื่อความหมาย
ของสมาชิกสำนักเดียวกัน คือ รูปดาวห้าแฉก
เก็บของที่ตกหรือการใช้เหล็กเขี่ยไฟสัญลักษณ์ที่สมาชิกของสำนักพีทาโกเรียนใช้เพื่อสื่อความหมาย
ของสมาชิกสำนักเดียวกัน คือ รูปดาวห้าแฉก
ต่อมามีการค้นพบจำนวนอตรรกยะ ทำให้พีทาโกรัสและลูกศิษย์ทั้งหลายเสียขวัญและกำลังใจ
นอกจากนี้ทางราชการได้ขับไล่สำนักพีทาโกเรียน เพราะเชื่อว่าเป็นสถาบันศักดินาจึงทำให้สำนักพีทาโกเรียนสูญสลายไป
พีทาโกรัสเป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีของพีทาโกรัสเป็นคนแรก ถึงแม้ว่าความจริงเกี่ยวกับทฤษฎีนี้้จะเป็นที่รู้จักกันมาก่อนแล้ก็ตามในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น
ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้ ซึ่งมักเรียกว่า สมการพีทาโกรัส ดังด้านล่าง
a2 + b2 = c2
โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส
ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้ ซึ่งมักเรียกว่า สมการพีทาโกรัส ดังด้านล่าง
a2 + b2 = c2
โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส
บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัสนั้นเป็นจริง
กำหนด a, b และ c เป็นจำนวนจริงบวกที่ a2 + b2 = c2 จะมีสามเหลื่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่มีความยาวด้านเท่ากับสามจำนวนนั้น และสามเหลี่ยมนั้นจะมีมุมฉากระหว่างด้าน a และ b
ชุดของสามจำนวนนี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส อีกข้อความหนึ่งกล่าวว่า
สำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้าน a, b และ c ถ้า a2 + b2 = c2 แล้วมุมระหว่าง a กับ b จะวัดได้ 90°
บทกลับนี้ยังปรากฏอยู่ในหนังสือ Euclid's Elements ของ ยุคลิดด้วย
ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก
บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้
กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a,b และ c และ a2 + b2 = c2 เราจะต้องพิสูจน์ว่ามุมระหว่าง a และ b เป็นมุมฉาก ดังนั้น เราจะสร้างสามเหลื่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เป็น a และ b แต่จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลื่ยมรูปที่สองก็จะมีค่าเท่ากับ c เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงเท่ากันทุกประการแบบ "ด้าน-ด้าน-ด้าน" และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมที่ด้าน a และ b มาประกอบกัน จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย
จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม
ถ้า a2 + b2 = c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ถ้า a2 + b2 < c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม
ถ้า a2 + b2 > c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน
กำหนด a, b และ c เป็นจำนวนจริงบวกที่ a2 + b2 = c2 จะมีสามเหลื่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่มีความยาวด้านเท่ากับสามจำนวนนั้น และสามเหลี่ยมนั้นจะมีมุมฉากระหว่างด้าน a และ b
ชุดของสามจำนวนนี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส อีกข้อความหนึ่งกล่าวว่า
สำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้าน a, b และ c ถ้า a2 + b2 = c2 แล้วมุมระหว่าง a กับ b จะวัดได้ 90°
บทกลับนี้ยังปรากฏอยู่ในหนังสือ Euclid's Elements ของ ยุคลิดด้วย
ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก
บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้
กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a,b และ c และ a2 + b2 = c2 เราจะต้องพิสูจน์ว่ามุมระหว่าง a และ b เป็นมุมฉาก ดังนั้น เราจะสร้างสามเหลื่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เป็น a และ b แต่จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลื่ยมรูปที่สองก็จะมีค่าเท่ากับ c เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงเท่ากันทุกประการแบบ "ด้าน-ด้าน-ด้าน" และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมที่ด้าน a และ b มาประกอบกัน จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย
จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม
ถ้า a2 + b2 = c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ถ้า a2 + b2 < c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม
ถ้า a2 + b2 > c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น